Identidades notables y fórmulas clave

Identidades algebraicas notables

Memorízalas. Aparecen continuamente en factorización y ecuaciones.

Las 3 esenciales

$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$
$\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
$\boxed{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}$

Cubos

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ecuación de segundo grado

Para $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$:

• $\Delta > 0$: dos soluciones reales.
• $\Delta = 0$: una solución real (doble).
• $\Delta < 0$: sin soluciones reales.

Suma y producto de raíces (Vieta):

• $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
• $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Geometría: distancias, áreas y volúmenes

Distancia en el plano

Entre $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Punto medio

$M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Pendiente de una recta

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Áreas

| Figura | Fórmula |
|---|---|
| Cuadrado | $A = l^2$ |
| Rectángulo | $A = b \cdot h$ |
| Triángulo | $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ |
| Círculo | $A = \pi r^2$ |
| Trapecio | $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ |

Volúmenes

| Cuerpo | Fórmula |
|---|---|
| Cubo | $V = l^3$ |
| Prisma | $V = A_b \cdot h$ |
| Cilindro | $V = \pi r^2 \cdot h$ |
| Pirámide | $V = \dfrac{A_b \cdot h}{3}$ |
| Esfera | $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ |
| Cono | $V = \dfrac{\pi r^2 \cdot h}{3}$ |

Logaritmos (por si entran)

| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto | $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$ |
| Cociente | $\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ |
| Potencia | $\log(a^n) = n \log a$ |
| Cambio de base | $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ |