Trigonometría: ángulos y razones trigonométricas

Ángulos: grados y radianes

Hay dos formas de medir ángulos:

| Sistema | Símbolo | Vuelta completa |
|---|---|---|
| Sexagesimal | grados (°) | 360° |
| Circular | radianes (rad) | $2\pi$ rad |

Conversión

$\dfrac{\text{grados}}{180} = \dfrac{\text{radianes}}{\pi}$

• $90° = \dfrac{\pi}{2}$ rad
• $180° = \pi$ rad
• $360° = 2\pi$ rad
• $60° = \dfrac{\pi}{3}$ rad

⚠️ EXAMEN PACFGS: trabaja siempre en grados. Tu calculadora debe mostrar "DEG" o "D" arriba.
En la Casio fx-82sp CW: pulsa SHIFT + SETUP → "Angle Unit" → "Degree".

Triángulos rectángulos

Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo de 90°.

        |B
        |\
        | \
   c    |  \  a (hipotenusa)
        |   \
        |    \
        |_____\
       C   b   A

• Hipotenusa ($a$): el lado opuesto al ángulo recto. Es el más largo.
• Catetos ($b$ y $c$): los otros dos lados.

Teorema de Pitágoras

$a^2 = b^2 + c^2$

(la hipotenusa al cuadrado = suma de los cuadrados de los catetos).

Ejemplo

Catetos 3 y 4 → hipotenusa: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Razones trigonométricas

Para un ángulo agudo $\alpha$ del triángulo rectángulo:

              hipotenusa
            /
           /
          / α
         /____
       cateto
       contiguo

• Cateto opuesto = el que está frente al ángulo $\alpha$.
• Cateto contiguo (o adyacente) = el que toca el ángulo $\alpha$ (sin ser hipotenusa).

| Razón | Fórmula | Memo |
|---|---|---|
| Seno | $\sin \alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ | SOH |
| Coseno | $\cos \alpha = \dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ | CAH |
| Tangente | $\tan \alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}$ | TOA |

🧠 SOH-CAH-TOA: dilo en alto. Es la mnemotecnia universal.

Razones inversas

• $\csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha}$ (cosecante)
• $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha}$ (secante)
• $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$ (cotangente)

(no entran tanto en PACFGS pero conviene reconocerlas).

Relaciones fundamentales

| Identidad | Fórmula |
|---|---|
| Pitagórica | $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ |
| Tangente | $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ |

Con estas dos puedes deducir cualquier razón a partir de otra.

Razones de ángulos clave (memorízalos)

| Ángulo | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | 1 | 0 | ∄ |

⚠️ La tangente de 90° no existe (división por cero).

Resolver un triángulo rectángulo

"Resolver" = calcular todos sus lados y ángulos a partir de los datos.

Ejemplo (similar al examen 2024)

"Una cinta transportadora tiene 8 m de horizontal y 4,5 m de altura. Calcula la longitud de la cinta y el ángulo de inclinación."

Dibujo:

            B (altura 4,5 m)
            /|
           / |
       L  /  |
         /   | 4,5
        /    |
       /α____|
      A 8 m  C

Longitud (hipotenusa) por Pitágoras:
$L = \sqrt{8^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{64 + 20{,}25} = \sqrt{84{,}25} \approx 9{,}18$ m.

Ángulo $\alpha$ por tangente:
$\tan \alpha = \dfrac{4{,}5}{8} = 0{,}5625$
$\alpha = \arctan(0{,}5625) \approx 29{,}36°$

(con la calculadora: SHIFT + tan + 0,5625 → 29,36°).

Cómo plantear estos problemas

1. Dibuja el triángulo (te ayudará el cerebro).
2. Identifica qué tienes (lados, ángulo) y qué te piden.
3. Elige razón según la regla:
   • Tienes hipotenusa y opuesto → seno.
   • Tienes hipotenusa y contiguo → coseno.
   • Tienes contiguo y opuesto → tangente.
4. Despeja y calcula.
5. Comprueba que el resultado tenga sentido (un ángulo agudo entre 0° y 90°).