Sistemas de ecuaciones lineales

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Dos o más ecuaciones que comparten incógnitas. La solución es un conjunto de valores que satisfacen TODAS a la vez.

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Solución: $x = 3, y = 1$ (compruébalo: 2·3 + 1 = 7 ✓; 3 − 1 = 2 ✓).

Métodos de resolución (sistemas 2x2)

Método 1: SUSTITUCIÓN

1. Despeja una incógnita en una ecuación.
2. Sustituye en la otra.
3. Resuelve la ecuación resultante (ya solo tiene una incógnita).
4. Sustituye la solución para hallar la otra.

Ejemplo:
$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$

De la 2ª: $x = y + 2$.
Sustituyo en la 1ª: $2(y + 2) + y = 7 \Rightarrow 2y + 4 + y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$.
Sustituyo: $x = 1 + 2 = 3$.

Método 2: IGUALACIÓN

1. Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Iguala las dos expresiones.
3. Resuelve.
4. Halla la otra incógnita.

Mismo ejemplo:

• De 1ª: $y = 7 - 2x$.
• De 2ª: $y = x - 2$.
• Igualamos: $7 - 2x = x - 2 \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3$. Y $y = 1$.

Método 3: REDUCCIÓN (el más rápido en muchos casos)

1. Multiplica una o ambas ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
2. Suma las dos ecuaciones (esa incógnita desaparece).
3. Resuelve y vuelve a sustituir.

Mismo ejemplo:
$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$

$y$ ya tiene coeficientes +1 y −1 → opuestos. Sumamos directamente:
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Sustituyo en cualquiera: $y = 1$.

🧠 Truco: si los coeficientes ya son opuestos, REDUCCIÓN. Si una incógnita está despejada, SUSTITUCIÓN. Si no, IGUALACIÓN o REDUCCIÓN tras multiplicar.

Clasificación de sistemas

| Tipo | Soluciones | Cómo se reconoce |
|---|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | Una única solución | Las ecuaciones se "cortan" en un punto |
| Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas soluciones | Las ecuaciones son la misma (proporcionales) |
| Incompatible (SI) | Sin soluciones | Las ecuaciones se contradicen |

Cómo detectar el tipo (regla rápida 2×2)

Compara los coeficientes:
$\dfrac{a_1}{a_2} \overset{?}{=} \dfrac{b_1}{b_2} \overset{?}{=} \dfrac{c_1}{c_2}$

| Resultado | Tipo |
|---|---|
| Las tres distintas | SCD (1 solución) |
| Las dos primeras iguales pero distintas de la 3ª | SI |
| Las tres iguales | SCI |

Sistemas 3x3

Tres ecuaciones, tres incógnitas $(x, y, z)$.

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$

Método de REDUCCIÓN ESCALONADA (el más práctico)

1. Eliminar $x$ entre la 1ª y 2ª, y entre la 1ª y 3ª. Quedan 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
2. Resolver ese sistema 2×2 (ya sabes).
3. Sustituir hacia atrás para hallar la tercera.

Aplicado al ejemplo:

Restamos 2·(1ª) − (2ª): $2(x+y+z) - (2x-y+z) = 12 - 3$
$\Rightarrow 3y + z = 9$ … (A)

Restamos (1ª) − (3ª): $(x+y+z) - (x+2y-z) = 6 - 1$
$\Rightarrow -y + 2z = 5$ … (B)

Sistema 2×2:
$\begin{cases} 3y + z = 9 \\ -y + 2z = 5 \end{cases}$

De (B): $y = 2z - 5$. Sustituyo en (A):
$3(2z - 5) + z = 9 \Rightarrow 7z - 15 = 9 \Rightarrow z = \dfrac{24}{7}$

… (en el examen real, los sistemas suelen tener soluciones enteras; si te salen fracciones raras, revisa cuentas).

Aplicación: PROBLEMAS con sistemas

Ejemplo

"En una taquilla, 2 entradas de adulto y 3 de niño cuestan 36 €. Tres entradas de adulto y 4 de niño cuestan 51 €. ¿Cuánto cuesta cada tipo?"

Planteamiento: $x$ = adulto, $y$ = niño.
$\begin{cases} 2x + 3y = 36 \\ 3x + 4y = 51 \end{cases}$

Reducción: multiplico 1ª por 3 y 2ª por 2:
$\begin{cases} 6x + 9y = 108 \\ 6x + 8y = 102 \end{cases}$

Resto: $y = 6$ €.

Sustituyo: $2x + 18 = 36 \Rightarrow x = 9$ €.

Solución: adulto 9 €, niño 6 €.