Probabilidad: experimentos aleatorios y sucesos

Conceptos básicos

• Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado no podemos predecir (lanzar un dado, sacar una bola).
• Espacio muestral ($\Omega$): conjunto de todos los resultados posibles. Para un dado: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.
• Suceso: cualquier subconjunto del espacio muestral. "Sacar par" = $\{2,4,6\}$.

Operaciones con sucesos

| Notación | Lectura | Significado |
|---|---|---|
| $A \cup B$ | A unión B | Ocurre A o B |
| $A \cap B$ | A intersección B | Ocurre A y B |
| $\bar{A}$ | A complementario | NO ocurre A |
| $A - B$ | A diferencia B | Ocurre A pero NO B |

Regla de LAPLACE

Si todos los resultados son igualmente probables:

$P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Ejemplo

Probabilidad de sacar par al lanzar un dado:
$P(\text{par}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Propiedades

1. $0 \leq P(A) \leq 1$.
2. $P(\Omega) = 1$.
3. $P(\emptyset) = 0$.
4. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
5. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

⚠️ Si A y B son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Probabilidad CONDICIONADA

Probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ocurrió B:

$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ejemplo

En una clase, 60% son chicas. De las chicas, 40% lleva gafas. ¿Probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea chica con gafas?

$P(\text{chica}) = 0{,}6$
$P(\text{gafas} | \text{chica}) = 0{,}4$

$P(\text{chica} \cap \text{gafas}) = P(\text{chica}) \cdot P(\text{gafas} | \text{chica}) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$

Independencia

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

(o equivalentemente, $P(A|B) = P(A)$).

Ejemplo

Lanzar dos veces un dado. P(sacar 6 las dos veces):
$P = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.

Diagrama de árbol

Para problemas de probabilidad compuesta, dibuja un árbol con los caminos posibles.

Ejemplo (similar examen 2024)

"En un tren viajan 83 personas: 40 francesas, 15 alemanas, 28 holandesas. Están jubiladas el 30% de las francesas, el 60% de las alemanas, el 50% de las holandesas. Calcula:
a) P(holandesa); b) P(alemana y jubilada); c) P(jubilada)."

a) $P(\text{H}) = \dfrac{28}{83} \approx 0{,}337$

b) $P(\text{A} \cap \text{J}) = P(\text{A}) \cdot P(\text{J}|\text{A}) = \dfrac{15}{83} \cdot 0{,}6 = \dfrac{9}{83} \approx 0{,}108$

c) $P(\text{J})$ = jubilados de los 3 grupos sumados:

$P(\text{J}) = P(\text{F}) \cdot P(\text{J}|\text{F}) + P(\text{A}) \cdot P(\text{J}|\text{A}) + P(\text{H}) \cdot P(\text{J}|\text{H})$
$= \dfrac{40}{83} \cdot 0{,}3 + \dfrac{15}{83} \cdot 0{,}6 + \dfrac{28}{83} \cdot 0{,}5$
$= \dfrac{12 + 9 + 14}{83} = \dfrac{35}{83} \approx 0{,}422$

Teorema de la PROBABILIDAD TOTAL

Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forman una partición del espacio muestral (incompatibles entre sí y cubren todo), entonces:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + \cdots + P(A_n) \cdot P(B|A_n)$

(es justo lo que hicimos en el apartado c) anterior).

Errores típicos

| ❌ Error | ✅ Correcto |
|---|---|
| $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ siempre | Solo si son incompatibles |
| $P(A|B) = P(A)$ | Solo si son independientes |
| Olvidar dividir por casos posibles | Aplicar Laplace correctamente |
| Suma de probabilidades > 1 | Imposible: revisa el planteamiento |