Potencias, raíces y notación científica

Potencias

Una potencia $a^n$ significa: multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces.

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

• $a$ = base.
• $n$ = exponente.

Casos especiales

• $a^1 = a$ (cualquier número elevado a 1 es él mismo).
• $a^0 = 1$ (cualquier número, salvo el 0, elevado a 0 es 1).
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (exponente negativo = inverso).
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ (exponente fraccionario = raíz).

Las 5 propiedades clave de las potencias

Memorízalas todas (entran cada año):

| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1. Producto misma base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| 2. Cociente misma base | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $\dfrac{2^5}{2^2} = 2^3$ |
| 3. Potencia de potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(2^3)^2 = 2^6$ |
| 4. Producto distinta base | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$ |
| 5. Cociente distinta base | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ | $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ |

Raíces

La raíz n-ésima de un número es el inverso de la potencia.

$\sqrt[n]{a} = b \Longleftrightarrow b^n = a$

• $\sqrt[2]{a}$ = raíz cuadrada (suele escribirse $\sqrt{a}$).
• $\sqrt[3]{a}$ = raíz cúbica.

Ejemplos

• $\sqrt{16} = 4$ porque $4^2 = 16$.
• $\sqrt[3]{27} = 3$ porque $3^3 = 27$.
• $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (irracional).

Raíces como potencias fraccionarias

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Ejemplo: $\sqrt[3]{2^6} = 2^{6/3} = 2^2 = 4$.

Propiedades de los radicales

| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ | $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ |
| Cociente | $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ | $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$ |
| Potencia de raíz | $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ | $(\sqrt{4})^3 = \sqrt{64} = 8$ |
| Raíz de raíz | $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ | $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2$ |

Notación científica

Sirve para escribir números muy grandes o muy pequeños de forma compacta.

$N = a \times 10^n$

donde $1 \leq |a| < 10$ y $n$ es un entero.

Números grandes (exponente positivo)

• $300 = 3 \times 10^2$
• $4\,500\,000 = 4{,}5 \times 10^6$
• Velocidad de la luz: $3 \times 10^8$ m/s.

Números pequeños (exponente negativo)

• $0{,}01 = 1 \times 10^{-2}$
• $0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}$

Operaciones en notación científica

Producto: multiplica los $a$ y suma los exponentes.

$(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^3) = 6 \times 10^{7}$

Cociente: divide los $a$ y resta los exponentes.

$\dfrac{6 \times 10^8}{2 \times 10^3} = 3 \times 10^5$

Suma/resta: solo si tienen el mismo exponente. Si no, primero iguala los exponentes.

$3 \times 10^4 + 5 \times 10^3 = 3 \times 10^4 + 0{,}5 \times 10^4 = 3{,}5 \times 10^4$

💡 En la calculadora Casio fx-82sp CW: tecla ×10ˣ o EXP para introducir notación científica directamente.

Errores típicos

| ❌ Error | ✅ Correcto |
|---|---|
| $2^3 \cdot 2^2 = 2^6$ | $2^3 \cdot 2^2 = 2^5$ |
| $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ | NO se puede simplificar así |
| $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| $\sqrt{-4} = -2$ | $\sqrt{-4}$ no existe en reales |