Polinomios y operaciones

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio en una variable $x$ es una expresión del tipo:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Ejemplo: $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5$

• Coeficientes: 2, −4, 1, −5.
• Grado: el mayor exponente. Aquí grado 3.
• Término independiente: el que no lleva $x$. Aquí −5.

Valor numérico

Sustituir $x$ por un número y calcular.

$P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 2 - 5 = 16 - 16 + 2 - 5 = -3$.

Operaciones con polinomios

Suma y resta

Solo se suman/restan términos del mismo grado (semejantes).

$P(x) = 3x^2 + 2x - 5; \quad Q(x) = x^2 - 4x + 1$

$P(x) + Q(x) = (3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 1) = 4x^2 - 2x - 4$

$P(x) - Q(x) = (3x^2 - x^2) + (2x - (-4x)) + (-5 - 1) = 2x^2 + 6x - 6$

Multiplicación

Cada término del primero por cada término del segundo (propiedad distributiva).

$(2x + 3)(x - 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$

División: regla de Ruffini

Cuando divides un polinomio $P(x)$ entre $(x - a)$:

1. Escribe los coeficientes de $P(x)$ en orden (poniendo 0 si falta algún grado).
2. Escribe $a$ a la izquierda.
3. Baja el primer coeficiente.
4. Multiplica por $a$ y suma con el siguiente. Repite.
5. El último número es el resto; los demás son los coeficientes del cociente.

Ejemplo: $(2x^3 - 5x^2 + 3x - 4) \div (x - 2)$

Coeficientes: 2, −5, 3, −4. $a = 2$.

       2    -5    3    -4
  2 |       4   -2     2
       2   -1    1    -2

• Bajamos 2.
• $2 \cdot 2 = 4$; $-5 + 4 = -1$.
• $-1 \cdot 2 = -2$; $3 + (-2) = 1$.
• $1 \cdot 2 = 2$; $-4 + 2 = -2$.

Cociente: $2x^2 - x + 1$. Resto: $-2$.

Identidades notables (¡memorízalas!)

Estas tres aparecen una y otra vez. Tienes que reconocerlas inmediatamente.

| Nombre | Fórmula |
|---|---|
| Cuadrado de la suma | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| Cuadrado de la resta | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| Suma por diferencia | $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ |

Ejemplos

• $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$
• $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$

⚠️ Error frecuente: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Te falta el doble producto $2ab$.

Descomposición en factores (factorización)

"Romper" un polinomio en producto de polinomios más simples.

Métodos básicos:

1. Factor común: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.

2. Identidad notable: $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$.

3. Trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

4. Ruffini (encuentra raíces enteras): si $P(a) = 0$, entonces $(x - a)$ es factor de $P(x)$.

Ejemplo de factorización completa con Ruffini

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Probamos $x = 1$: $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓ → $(x - 1)$ es factor.

Aplicamos Ruffini con $a = 1$:

    1   -6    11   -6
1 |      1   -5     6
    1   -5    6     0

Cociente: $x^2 - 5x + 6$.

Factorizamos $x^2 - 5x + 6$:

• Buscamos dos números que sumen 5 y multipliquen 6 → 2 y 3.
• $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Resultado final: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Aplicación: ecuaciones de 3er grado

Si conseguimos factorizar, podemos resolver:
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \Longrightarrow (x-1)(x-2)(x-3) = 0$

Soluciones: $x = 1, x = 2, x = 3$.

🧠 Truco: cuando busques raíces enteras, prueba primero divisores del término independiente. En el ejemplo: divisores de 6 → ±1, ±2, ±3, ±6.