Geometría analítica del plano

El plano cartesiano

Dos rejes perpendiculares: eje OX (horizontal) y eje OY (vertical). Se cortan en el origen $O(0, 0)$.

Un punto se identifica con dos coordenadas $P(x, y)$ donde:

• $x$ = abscisa (cuánto te mueves a la derecha o izquierda).
• $y$ = ordenada (cuánto subes o bajas).

       y
       |
    +3 +    · A(2, 3)
    +2 +
    +1 +
       +---+---+---+--- x
   -1  0  1  2  3
    -1 +
    -2 +     · B(1, -2)

El plano se divide en 4 cuadrantes:

• I: $x > 0, y > 0$
• II: $x < 0, y > 0$
• III: $x < 0, y < 0$
• IV: $x > 0, y < 0$

Distancia entre dos puntos

Dados $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$:

$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

(es Pitágoras aplicado a las diferencias).

Ejemplo

$A(2, 1), B(5, 5)$:
$d = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Punto medio de un segmento

$M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Ejemplo

Punto medio entre $A(2, -1)$ y $B(6, 5)$:
$M = \left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{-1+5}{2}\right) = (4, 2)$.

La recta

Una recta queda determinada por dos puntos (o por un punto y una dirección).

Ecuación general

$Ax + By + C = 0$

Ecuación explícita (forma "y =")

$y = mx + n$

• $m$ = pendiente (inclinación).
• $n$ = ordenada en el origen (donde corta al eje OY).

Pendiente entre dos puntos

Dados $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

🧠 Truco: $m > 0$ → recta sube. $m < 0$ → baja. $m = 0$ → horizontal. Sin pendiente → vertical.

Ejemplo

Pendiente entre $A(2, -3)$ y $B(-1, 5)$:
$m = \dfrac{5 - (-3)}{-1 - 2} = \dfrac{8}{-3} = -\dfrac{8}{3}$.

Ecuación punto-pendiente

Dados un punto $P(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1. Calcula la pendiente $m$.
2. Aplica la ecuación punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos.

Ejemplo (similar examen 2024):
Recta que pasa por $A(2, -3)$ y $B(-1, 5)$.

$m = -\dfrac{8}{3}$ (calculado arriba).

$y - (-3) = -\dfrac{8}{3}(x - 2)$
$y + 3 = -\dfrac{8}{3}x + \dfrac{16}{3}$
$y = -\dfrac{8}{3}x + \dfrac{16}{3} - 3 = -\dfrac{8}{3}x + \dfrac{7}{3}$

O en forma general: $8x + 3y - 7 = 0$.

Paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas son PARALELAS si tienen la misma pendiente

$r_1 \parallel r_2 \Longleftrightarrow m_1 = m_2$

Dos rectas son PERPENDICULARES si sus pendientes son inversas y opuestas

$r_1 \perp r_2 \Longleftrightarrow m_1 \cdot m_2 = -1 \Longleftrightarrow m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$

Ejemplo

Si una recta tiene $m = 2$:

• Paralelas tendrán $m = 2$.
• Perpendiculares tendrán $m = -\dfrac{1}{2}$.

Intersección de dos rectas

Resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones. La solución $(x, y)$ es el punto de corte.

Ejemplo

$\begin{cases} 2x + y + 1 = 0 \\ y = -\dfrac{8}{3}x + \dfrac{7}{3} \end{cases}$

Sustituyo la 2ª en la 1ª: $2x - \dfrac{8}{3}x + \dfrac{7}{3} + 1 = 0$.

$\dfrac{6x - 8x}{3} + \dfrac{7 + 3}{3} = 0 \Rightarrow -\dfrac{2x}{3} + \dfrac{10}{3} = 0 \Rightarrow x = 5$.

Sustituyo: $y = -2(5) - 1 = -11$. Punto: $(5, -11)$.

Posición relativa de dos rectas

| Relación | Soluciones del sistema |
|---|---|
| Se cortan (secantes) | Una única (punto de corte) |
| Paralelas (no se cortan) | Ninguna |
| Coincidentes (la misma) | Infinitas |