Funciones reales: tipos, dominio y representación

¿Qué es una función?

Una función $f$ asigna a cada valor de $x$ (variable independiente) un único valor de $y$ (variable dependiente).

$y = f(x)$

Ejemplo: $f(x) = 2x + 1$. Si $x = 3$, entonces $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Dominio de una función

El dominio $\text{Dom}(f)$ es el conjunto de valores de $x$ para los que la función está definida (puede calcularse).

Reglas para hallar el dominio:

| Tipo | Restricción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Polinómica | Sin restricciones | $f(x) = x^2 - 1$ → $\text{Dom} = \mathbb{R}$ |
| Racional ($\frac{P}{Q}$) | Denominador ≠ 0 | $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ → $\text{Dom} = \mathbb{R} - \{2\}$ |
| Raíz par ($\sqrt{}$) | Radicando ≥ 0 | $f(x) = \sqrt{x-3}$ → $\text{Dom} = [3, +\infty)$ |
| Logaritmo | Argumento > 0 | $f(x) = \log(x-1)$ → $\text{Dom} = (1, +\infty)$ |

Representación gráfica

Una función se representa en el plano cartesiano: por cada $x$ se dibuja el punto $(x, f(x))$.

Tabla de valores

Para representarla a mano: haz una tabla con varios valores de $x$ y calcula $f(x)$.

| $x$ | $f(x) = x^2$ |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |

Funciones elementales

1. Lineal: $y = mx + n$

Recta. $m$ es la pendiente, $n$ donde corta al eje OY.

$y = 2x + 1$ → recta de pendiente 2 que corta OY en (0, 1).

2. Cuadrática: $y = ax^2 + bx + c$

Parábola.

• Si $a > 0$: parábola "feliz" (∪), abierta hacia arriba.
• Si $a < 0$: parábola "triste" (∩), abierta hacia abajo.

Vértice (mínimo o máximo):
$x_v = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)$

Cortes con los ejes:

• Con OY: $x = 0 \Rightarrow y = c$.
• Con OX: $y = 0 \Rightarrow ax^2 + bx + c = 0$ (resolver con la fórmula general).

Ejemplo (examen 2024)

$f(x) = x^2 + 4{,}5x + 5$

Cortes:

• OY: $x = 0 \Rightarrow y = 5$. Punto $(0, 5)$.
• OX: $x^2 + 4{,}5x + 5 = 0$ → fórmula general:
  $x = \dfrac{-4{,}5 \pm \sqrt{20{,}25 - 20}}{2} = \dfrac{-4{,}5 \pm 0{,}5}{2}$
  $x_1 = -2; x_2 = -2{,}5$. Puntos $(-2, 0)$ y $(-2{,}5, 0)$.

Vértice:
$x_v = -\dfrac{4{,}5}{2} = -2{,}25$
$y_v = (-2{,}25)^2 + 4{,}5 \cdot (-2{,}25) + 5 = -0{,}0625$
Vértice: $(-2{,}25, -0{,}0625)$.

Crecimiento: la parábola es feliz ($a = 1 > 0$). Por tanto:

• Decrece en $(-\infty, -2{,}25)$.
• Crece en $(-2{,}25, +\infty)$.

3. Exponencial: $y = a^x$ (con $a > 0, a \neq 1$)

• Si $a > 1$: crecimiento explosivo.
• Si $0 < a < 1$: decrecimiento.

Siempre pasa por $(0, 1)$ porque $a^0 = 1$.

4. Racional: $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$

Tiene asíntotas verticales donde el denominador es 0.

Ej: $y = \dfrac{1}{x}$ tiene asíntota vertical en $x = 0$ y horizontal en $y = 0$.

5. Valor absoluto: $y = |x|$

Forma de "V". Siempre $\geq 0$.

6. Definidas a trozos

Distintas expresiones según el valor de $x$:

$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Características que pide el examen

Para una función dada (especialmente cuadrática):

1. Dominio.
2. Cortes con los ejes.
3. Vértice (en parábolas).
4. Crecimiento y decrecimiento (intervalos).
5. Máximos y mínimos.
6. Simetrías (par/impar).
7. Continuidad (¿hay saltos?).

Función PAR (simétrica respecto al eje OY): $f(-x) = f(x)$

Ej: $f(x) = x^2$.

Función IMPAR (simétrica respecto al origen): $f(-x) = -f(x)$

Ej: $f(x) = x^3$.