Estadística descriptiva y bidimensional

Parámetros estadísticos UNIDIMENSIONALES

Para una variable con valores $x_1, x_2, \dots, x_n$:

Media aritmética ($\bar{x}$)

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

Es el "valor promedio".

Varianza ($\sigma^2$ o $s^2$)

Mide cuánto se alejan los valores de la media.

$\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

Forma equivalente más fácil de calcular:

$\sigma^2 = \dfrac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2$

Desviación típica ($\sigma$ o $s$)

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

💡 La desviación típica está en las MISMAS unidades que los datos. Por eso es la más usada para "ver" la dispersión.

Ejemplo

Notas: 5, 7, 6, 8, 9.

Media: $\bar{x} = \dfrac{5+7+6+8+9}{5} = 7$.

Varianza:
$\sigma^2 = \dfrac{(5-7)^2 + (7-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (9-7)^2}{5} = \dfrac{4 + 0 + 1 + 1 + 4}{5} = 2$

Desviación típica: $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Estadística BIDIMENSIONAL

Estudia dos variables a la vez: $(X, Y)$. Por ejemplo: horas estudiadas vs nota.

Diagrama de dispersión

Cada par $(x_i, y_i)$ se dibuja como un punto en el plano. La nube de puntos resultante muestra si hay relación.

y
|   ·     ·
|     ·       ·
|  ·    ·  ·
|     ·     ·
|________________ x

Covarianza ($\sigma_{xy}$)

$\sigma_{xy} = \dfrac{x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n}{n} - \bar{x} \cdot \bar{y}$

Indica el sentido de la relación:

• $\sigma_{xy} > 0$ → relación directa (al crecer X, crece Y).
• $\sigma_{xy} < 0$ → relación inversa (al crecer X, decrece Y).
• $\sigma_{xy} \approx 0$ → no hay relación lineal.

Coeficiente de correlación lineal ($r$)

$r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}$

Está siempre entre $-1$ y $+1$:

| Valor de $r$ | Interpretación |
|---|---|
| $r = 1$ | Correlación lineal perfecta directa |
| $0{,}8 < r < 1$ | Muy fuerte directa |
| $0{,}5 < r < 0{,}8$ | Moderada directa |
| $r \approx 0$ | Sin relación lineal |
| $-0{,}5 < r$ | (mismas categorías en negativo) |
| $r = -1$ | Perfecta inversa |

Recta de regresión de Y sobre X

Es la recta que mejor ajusta la nube de puntos. Sirve para hacer predicciones.

$y - \bar{y} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2} (x - \bar{x})$

Pasos para resolver un problema de bidimensional

1. Tabla: $x_i, y_i, x_i^2, y_i^2, x_i y_i$.
2. Calcula sumas $\sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2, \sum x_i y_i$.
3. Medias $\bar{x}, \bar{y}$.
4. Varianzas $\sigma_x^2, \sigma_y^2$.
5. Covarianza $\sigma_{xy}$.
6. Correlación $r$.
7. Recta de regresión.
8. Si te dan un valor de $X$, sustituye en la recta para predecir $Y$.

💡 La calculadora Casio fx-82sp CW tiene modo STAT que te calcula automáticamente $\bar{x}, \bar{y}, \sigma_x, \sigma_y, r$ y los coeficientes de la recta. Aprende a usarla — ahorra muchísimo tiempo.