Números enteros y fracciones

Números enteros

Los enteros son los positivos, los negativos y el cero: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Recta numérica

$\cdots \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad \cdots$

A la izquierda del 0 los negativos. A la derecha los positivos. Cuanto más a la derecha, más grande.

⚠️ −5 es menor que −2, no mayor. Aunque "5" parezca mayor que "2", el signo lo invierte.

Suma y resta de enteros

• Mismo signo → suma valores absolutos y conserva el signo.
  • $(+3) + (+5) = +8$
  • $(-3) + (-5) = -8$
• Distinto signo → resta valores absolutos y conserva el signo del mayor.
  • $(+7) + (-3) = +4$
  • $(-7) + (+3) = -4$

Valor absoluto

El valor absoluto $|x|$ es siempre positivo o cero. Es la "distancia al cero".

• $|5| = 5$
• $|-5| = 5$
• $|0| = 0$

Fracciones

Una fracción $\frac{a}{b}$ representa "a partes de un total de b partes".

• $a$ = numerador (lo que tomas).
• $b$ = denominador (en cuántas partes se divide el total).

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}$

🧠 Truco: para obtener una equivalente, multiplica (o divide) numerador y denominador por el mismo número.

Simplificar (reducir) una fracción

Divide ambos por el mismo número hasta que ya no se pueda más.

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Una fracción está irreducible cuando MCD(numerador, denominador) = 1.

MCD (Máximo Común Divisor)

El número más grande que divide a varios números a la vez.

Ejemplo: MCD(12, 18).

• Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Comunes: 1, 2, 3, 6 → el mayor es 6.

Otro método (descomposición en factores primos):

• $12 = 2^2 \times 3$
• $18 = 2 \times 3^2$
• MCD = factores comunes con MENOR exponente = $2 \times 3 = 6$.

MCM (Mínimo Común Múltiplo)

El número más pequeño que es múltiplo de varios.

MCM(4, 6):

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
• Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…
• Común más pequeño: 12.

Por descomposición:

• $4 = 2^2$
• $6 = 2 \times 3$
• MCM = todos los factores con MAYOR exponente = $2^2 \times 3 = 12$.

Operaciones con fracciones

1. Suma y resta

Mismo denominador: suma o resta numeradores y conserva denominador.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Distinto denominador: hay que reducir a común denominador (con el MCM).

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

MCM(4, 6) = 12. Reducir cada una a denominador 12:

• $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ (multiplicar arriba y abajo por 3).
• $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ (por 2).

Sumar: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

2. Multiplicación

Multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

3. División

Multiplica la primera por la inversa (o "dada la vuelta") de la segunda.

$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

🧠 Truco "en cruz" (productos cruzados):
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Errores típicos

| ❌ Error | ✅ Correcto |
|---|---|
| $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ | $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$ |
| $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{8}$ | $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ |
| $\frac{6}{8} = \frac{3}{2}$ | $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ |

Convertir fracción ↔ decimal

• Fracción → decimal: divide numerador entre denominador. $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$.
• Decimal → fracción: pon el decimal sobre 10, 100, 1000... según los decimales y simplifica. $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.