Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una igualdad que se reduce a la forma:

$ax + b = 0$

con $a \neq 0$. La solución es siempre única: $x = \dfrac{-b}{a}$.

Cómo resolverla — pasos

1. Quita los paréntesis (propiedad distributiva).
2. Quita los denominadores multiplicando ambos lados por el MCM.
3. Agrupa: las $x$ a un lado, los números al otro.
4. Despeja $x$.

Ejemplo

$3(x - 2) + 5 = 2(x + 1) - 4$

1. Paréntesis: $3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 4$.
2. Simplifica: $3x - 1 = 2x - 2$.
3. Agrupa: $3x - 2x = -2 + 1 \Rightarrow x = -1$.

Con denominadores

$\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} = 1$

MCM(3, 2) = 6. Multiplicamos todo por 6:

$2(x + 2) - 3(x - 1) = 6$

$2x + 4 - 3x + 3 = 6 \Rightarrow -x + 7 = 6 \Rightarrow x = 1$

Ecuaciones de SEGUNDO GRADO

Forma general:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Fórmula general (resolvente)

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

🧠 Memorízala como canción: "menos b más-menos raíz cuadrada de b² menos 4 a c, todo dividido entre 2 a".

El discriminante Δ = $b^2 - 4ac$

Indica cuántas soluciones reales hay:

| Discriminante | Soluciones |
|---|---|
| Δ > 0 | dos soluciones reales distintas |
| Δ = 0 | una solución real (doble) |
| Δ < 0 | sin soluciones reales |

Ejemplo

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Identificamos: $a = 1, b = -5, c = 6$.

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ → 2 soluciones.

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$; $x_2 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$.

Casos especiales (más rápidos)

Sin término independiente ($c = 0$): $ax^2 + bx = 0$.
Saca factor común $x$:
$x(ax + b) = 0 \Longrightarrow x = 0 \text{ o } x = -\dfrac{b}{a}$

Ejemplo: $2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3$.

Sin término en x ($b = 0$): $ax^2 + c = 0$.
Despeja directamente:
$x^2 = -\dfrac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-c/a}$

Ejemplo: $3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Ecuaciones IRRACIONALES (con raíz)

Tienen la incógnita dentro de una raíz.

Pasos:

1. Aísla la raíz en un lado.
2. Eleva al cuadrado ambos miembros.
3. Resuelve la ecuación resultante.
4. ⚠️ Comprueba siempre las soluciones en la original (puede haber soluciones falsas por elevar al cuadrado).

Ejemplo

$\sqrt{x + 5} = x - 1$

Elevamos al cuadrado: $x + 5 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x - 4 = 0$ → fórmula general:

$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = 4$; $x_2 = -1$.

Comprobamos:

• $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ y $4 - 1 = 3$ ✓
• $x = -1$: $\sqrt{4} = 2$ y $-1 - 1 = -2$ ✗ (no válida).

Solución única: x = 4.

Aplicación: PROBLEMAS de ecuaciones

Plantilla mental para CUALQUIER problema:

1. Leer dos veces el enunciado.
2. Llamar $x$ a la incógnita principal.
3. Expresar el resto de cantidades en función de $x$.
4. Plantear la ecuación que relaciona los datos.
5. Resolver.
6. Comprobar que la solución tiene sentido (no puede haber 3,7 personas, ni un tiempo negativo).

Ejemplo (real, similar al examen 2024)

"El tiempo de ensamblado de partes mecánicas es 4 veces el de terminaciones exteriores. Entre terminaciones exteriores y acabado interior hay 6,4 minutos. El ensamblado mecánico es el 60% del tiempo total. ¿Cuánto se tarda en total?"

Planteamiento:

• Sea $x$ = tiempo total.
• Mecánicas = 60% de $x$ = $0{,}6x$.
• Terminaciones = $\dfrac{0{,}6x}{4} = 0{,}15x$.
• Acabado interior = $0{,}15x + 6{,}4$ (porque la diferencia con terminaciones es 6,4).

Ecuación (la suma es el total):
$0{,}6x + 0{,}15x + (0{,}15x + 6{,}4) = x$
$0{,}9x + 6{,}4 = x \Rightarrow 0{,}1x = 6{,}4 \Rightarrow x = 64$

Solución: 64 minutos.

Reparte: mecánicas 38,4 min · terminaciones 9,6 min · acabado 16 min. Total 64 ✓.